Gründe

1. Über die Verfassungsbeschwerde ist nicht mehr zu entscheiden, weil der Beschwerdeführer das Verfassungsbeschwerdeverfahren mit am 16. Dezember 2022 eingegangenem Schriftsatz für erledigt erklärt hat.

2. Der Antrag auf Auslagenerstattung ist unbegründet.

a) Nach Erledigung der Verfassungsbeschwerde ist über die Auslagenerstattung gemäß § 34a Abs. 3 BVerfGG nach Billigkeitsgesichtspunkten zu entscheiden (vgl. BVerfGE 85, 109 <114>; 87, 394 <397>; 133, 37 <38 Rn. 2>). Im Hinblick auf die Funktion und die Tragweite der Entscheidungen des Bundesverfassungsgerichts findet eine summarische Prüfung der Erfolgsaussicht der Verfassungsbeschwerde im Rahmen der Entscheidung nach § 34a Abs. 3 BVerfGG grundsätzlich nicht statt (vgl. BVerfGE 33, 247 <264 f.>; 85, 109 <115 f.>; 87, 394 <398>; 133, 37 <38 f. Rn. 2>). Dem Grund, der zur Erledigung geführt hat, kann wesentliche Bedeutung zukommen (BVerfGE 133, 37 <38 Rn. 2>). So ist es billig, einem Beschwerdeführer die Erstattung seiner Auslagen zuzuerkennen, wenn die öffentliche Gewalt von sich aus den mit der Verfassungsbeschwerde angegriffenen Akt beseitigt oder der Beschwer auf andere Weise abhilft, weil in diesem Fall davon ausgegangen werden kann, dass sie das Begehren des Beschwerdeführers selbst für berechtigt erachtet hat (vgl. BVerfGE 85, 109 <114 ff.>; 87, 394 <397 f.>; 91, 146 <147>; 133, 37 <38 Rn. 2>). Die Auslagenerstattung entspricht hingegen regelmäßig nicht der Billigkeit, wenn die Verfassungsbeschwerde zum Zeitpunkt ihrer Erhebung unzulässig war (vgl. BVerfG, Beschluss der 2. Kammer des Zweiten Senats vom 9. Oktober 2014 - 2 BvR 550/14 -, juris, Rn. 3) und dies bis zur Erledigung durch die Abhilfe im fachgerichtlichen Verfahren geblieben ist (BVerfG, Beschluss der 1. Kammer des Ersten Senats vom 5. Oktober 2022 - 1 BvR 856/22 -, Rn. 5 m.w.N.).

b) Nach diesen Maßstäben entspricht es im vorliegenden Fall nicht der Billigkeit, eine Ausnahme vom Grundsatz des Selbstbehalts anzunehmen. Die Verfassungsbeschwerde war seit ihrer Erhebung bis zur Bekanntgabe des Beschlusses über den - umgedeuteten - Antrag auf Ergänzung des Beschlusses vom 20. Oktober 2022 offensichtlich unzulässig. Die Verfassungsbeschwerde genügte nicht dem Grundsatz der Subsidiarität (vgl. § 90 Abs. 2 Satz 1 BVerfGG ), da der Beschwerdeführer die Verfassungsbeschwerde erhoben hat, bevor das Landgericht über den - umgedeuteten - Antrag auf Ergänzung des Beschlusses entschieden und dem Begehren des Beschwerdeführers abgeholfen hatte.

Zwar war mit der Entscheidung über den Antrag auf Feststellung der Rechtswidrigkeit der Abschiebungshaft der Rechtsweg im Sinne des § 90 Abs. 2 Satz 1 BVerfGG erschöpft. Aus dem subsidiären Charakter der Verfassungsbeschwerde als außerordentlicher Rechtsbehelf sowie der Kompetenzverteilung zwischen den Fachgerichten und dem Bundesverfassungsgericht folgt aber, dass der Beschwerdeführer über das Erfordernis einer Rechtswegerschöpfung im engeren Sinn hinaus vor Erhebung der Verfassungsbeschwerde grundsätzlich alle ihm zumutbaren, nach Lage der Sache zur Verfügung stehenden prozessualen Möglichkeiten ergreifen muss, um den geltend gemachten Verstoß gegen Grundrechte oder grundrechtsgleiche Rechte zu verhindern oder dessen Korrektur zu erwirken (vgl. BVerfGE 81, 22 <27>; 84, 203 <208>; 95, 163 <171>; BVerfG, Beschluss der 2. Kammer des Ersten Senats vom 12. November 2021 - 1 BvR 576/19 -, Rn. 8; Beschluss der 2. Kammer des Zweiten Senats vom 7. April 2022 - 2 BvR 2194/21 -, Rn. 51; stRspr). Zu den insoweit zur Verfügung stehenden prozessualen Möglichkeiten gehört auch das Stellen eines nicht offensichtlich aussichtslosen Antrags auf Ergänzung der Entscheidung, sofern dies fachprozessrechtlich statthaft ist (vgl. BVerfGE 73, 322 <325>; BVerfG, Beschluss der 3. Kammer des Ersten Senats vom 16. November 2021 - 1 BvR 1775/21 -, Rn. 4 m.w.N.). Da der - umgedeutete - Antrag auf Ergänzung des Beschlusses erfolgreich war, kann er auch nicht als aussichtslos angesehen werden (vgl. Beschluss der 3. Kammer des Zweiten Senats vom 28. Oktober 2019 - 2 BvR 962/19 -, juris, Rn. 3).

Diese Entscheidung ist unanfechtbar.